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设函数f(x)=
1
2
x2-tx+3lnx,g(x)=
2x+t
x2-3
,已知a,b为函数f(x)的极值点(0<a<b).
(1)求函数g(x)在区间(-∞,-a)上单调区间,并说明理由;
(2)若曲线g(x)在x=1处的切线斜率为-4,且方程g(x)-m=0有两上不等的负实根,求m的取值范围.
分析:(1)据极值点处的导数为0,利用二次方程的根与系数的关系将g′(x)用a,b表示,令g′(x)>0得到单增区间;令令g′(x)<0得到单减区间
(2)据在切点处的导数值为切线斜率,求出t的值,通过求g(x)的单调性及极值画出g(x)的大致图象,数形结合求出m的取值范围.
解答:精英家教网解:(1)令f′(x)=x-t+
3
x
=
x2-tx+3
x
=0
∴a,b为方程x2-tx+3=0的两根,
又g′(x)=-
2(x2+tx+3)
(x2-3)2
=
-2(x+a)(x+b)
(x2-3)2
=(x≠±
3

由0<a<b及ab=3知0<a<
3
<b,
∴-b<-
3
<-a<0,
当x∈(-b,-a)且x≠-
3
时,g′(x)>0;当x∈(-∞,-b)时,g′(x)<0
∴g(x)在(-∞,-b)上单调递减;在区间(-b,-
3
),(-
3
,-a)
上单调递增
(2)由g′(1)=-
2(t+4)
4
=-4得t=4
∴g(x)=
2x+4
x2-3

g′(x)=
-2(x+1)(x+3)
(x2-3)2

令g′(x0=0解得x=-3或-1
∴当x在(-∞,0]上变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下:
当x<-3时,g′(x)<0;
-3<x<-
3
时,g′(x)>0;
-
3
< x<-1
时,g′(x)>0;
当-1<x<0时,g′(x)<0
故当x=-3时,有极小值-
1
3

当x=-1时,有极大值-1;并且g(0)=-
4
3

∴g(x)的大致图象为:
∴方程g(x)-m=0有两个不等的负实根时,m∈(-
4
3
,-1)∪(-
1
3
,0)
点评:本题考查通过导数求函数极值,求单调区间;画函数的大致图象等.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
(
1
2
)x-7 (x<0)
x
 
(x≥0)
,若f(a)<1
,则实数a的取值范围是(  )
A、(-∞,-3)
B、(1,+∞)
C、(-3,1)
D、(-∞,-3)∪(1,+∞)

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设函数f(x)=
(
1
2
)x-1,x≥0
x2,x<0
与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,则当x>0时,g(x)=
 

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设函数f(x)=
(
1
2
)
x
 (x≤0)
x
1
2
     (x>0)
,若f(x0)>2,则x0的取值范围是(  )
A、(-1,4)
B、(-1,+∞)
C、(4,+∞)
D、(-∞,-1)∪(4,+∞)

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设函数f(x)=
(
1
2
)x-3(x≤0)
x
1
2
(x>0)
,已知f(a)>1,则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
(
1
2
)x+1(x<-1)
-x2+2(-1≤x≤2)
3x-8(x>2)

(Ⅰ)请在下列直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的图象,试分别写出关于x的方程f(x)=t有2,3,4个实数解时,相应的实数t的取值范围;
(Ⅲ)记函数g(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数g(x)图象上的不动点.试问,函数f(x)图象上是否存在不动点,若存在,求出不动点的坐标,若不存在,请说明理由.

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