Question

设函数f(x)=

( 1 2 )x-1，x≥0 x2，x＜0

与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，则当x＞0时，g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知条件f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称可知，f（x）与g（x）互为反函数．根据互为反函数的两个函数之间的关系可知，互为反函数的两个函数定义域和值域互换．由函数g（x）中，x＞0可知函数f（x）的值域为f（x）＞0，又函数f（x）为分段函数，考查两段的表达式可知当x＜0时，f（x）=x² 与当x＞0时的函数g（x）互为反函数．

解答：解：∵f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称    
∴f（x）与g（x）互为反函数
  又∵①当x≥0时，f（x）=（

1

2

）^x-1，f（x）≤0
     ②当x＜0时，f（x）=x²，f（x）＞0
  根据互为反函数的两函数定义域与值域的关系，可知②复合题意
  又 f（x）=x²，x＜0的反函数为f^-1（x）=-

x

，（x＞0）
  所以当x＞0时，g（x）=-

x

  故答案为：-

x

．

点评：本题考查互为反函数的两个函数之间定义域与值域之间的关系及分段函数反函数的求法．求分段函数的反函数，应先求各区间上的定义域及反函数，然后合并成一个函数．要注意分段函数的反函数仍为分段函数．