Question

已知向量

a

=(1，cos(ωx-

π

6

))，

b

=(2，2sin(ωx-

π

6

))，其中ω为常数，且ω＞0．
（1）若ω=1，且

a

∥

b

，求tanx的值；
（2）设函数f(x)=

a

•

b

-2，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x∈[0，

π

2

]时的值域．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

的充要条件知，

b

=λ•

a

，即

2=λ 2sin(x- π 6 )=λ•cos(x- π 6 )

，tan(x-

π

6

)=1，解出x，使用周期性及诱导公式求得tanx的值．
（2）使用二倍角公式化简f（x）的解析式，求出角的范围，再利用函数的单调性求函数的值域．

解答：解：（1）若ω=1，则

a

=(1 ， cos(x-

π

6

))，

b

=(2 ， 2sin(x-

π

6

))，
由

a

∥

b

的充要条件知，存在非零实数λ，使得

b

=λ•

a

，即

2=λ 2sin(x- π 6 )=λ•cos(x- π 6 )

，
所以，sin(x-

π

6

)=cos(x-

π

6

)，tan(x-

π

6

)=1，
∴x-

π

6

=kπ+

π

4

，k∈Z，x=kπ+

5π

12

，k∈Z，tanx=tan(kπ+

5π

12

)=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

1+ 3 3

1- 3 3

=

3+ 3

3- 3

=2+

3

．
（2）f(x)=2+2sin(ωx-

π

6

 )cos(ωx-

π

6

 )-2=2sin(ωx-

π

6

 )cos(ωx-

π

6

 )=sin(2ωx-

π

3

 )，
因为f（x）的最小正周期为π，所以

2π

2ω

=π，ω=1，
所以f(x)=sin(2x-

π

3

)，（10分）
当x∈[0 ， 

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

 ， 

2π

3

]，
所以函数f（x）的值域为[-

3

2

 ， 1]．

点评：本题考查两个向量共线的性质，函数周期性的应用及诱导公式的应用，已知三角函数的值求角的大小即利用函数的单调性求函数的值域．