Question

在(x2-

1

2x

)9的展开式中，求：
（1）第6项；  
（2）第3项的系数；
（3）常数项； 
（4）展开式中的所有二项式的系数和与各项系数和的比．

Answer 1

分析：（1）求出展开式的通项公式T_r+1=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r，由此求出第6项为T₆．
（2）由通项公式求出第3项的系数为（-1）²2^-2•C₉²．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常数项为 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展开式中的所有二项式的系数和为2⁹，令x=1可得各项系数和为(

1

2

)9，由此求得有二项式的系数和与各项系数和的比．

解答：解：（1）展开式的通项公式为 T_r+1=C₉^r （-1）^r x^18-2r （2x）^-r=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r．
故第6项为 T₆=（-1）⁵2^-5•C₉⁵•x³=-

63

16

 x³．
（2）由通项公式求出第3项的系数为（-1）²2^-2•C₉²=9．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常数项为 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展开式中的所有二项式的系数和为C₉⁰+C₉¹+C₉²+…+C₉⁹=2⁹．
令x=1可得各项系数和为(

1

2

)9，故展开式中的所有二项式的系数和与各项系数和的比

29

( 1 2 )9

=2¹⁸．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质的应用，注意所有二项式的系数和与各项系数和 之间的区别．