Question

已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f(x)＝bx²＋cx＋d，g(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，方程f(x)＝0有实根，且f(x)＝0的实数根都是g(f(x))＝0的根，反之，g(f(x))＝0的实数根都是f(x)＝0的根，

(1)求d的值；

(2)若a＝0，求c的取值范围；

(3)若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设x0是f(x)＝0的根，那么f(x0)＝0，则x0是g(f(x))＝0的根，则g[f(x0)]＝0，即g(0)＝0，所以d＝0． 　　(2)因为a＝0，所以f(x)＝bx2＋cx，g(x)＝bx2＋cx，则g(f(x))＝f(x)[bf(x)＋c]＝(bx2＋cx)(b2x2＋bcx＋c)＝0的根也是f(x)＝x(bx＋c)＝0的根． 　　(a)若b＝0，则c≠0，此时f(x)＝0的根为0，而g(f(x))＝0的根也是0，所以， 　　(b)若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而 　　所以当时，；当时，． 　　(3)，所以，即的根为0和1， 　　所以＝0必无实数根， 　　(a)当时，＝＝，即函数在，恒成立，又，所以，即所以； 　　(b)当时，＝＝，即函数在，恒成立，又，所以， 　　，而，所以，所以不可能小于0， 　　(c)则这时的根为一切实数，而，所以符合要求． 　　所以