【题目】已知函数(其中
,
为自然对数的底数,
…).
(1)若函数仅有一个极值点,求
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有两个零点
,
,且
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,转化不等式,再通过
与
的大小讨论即可求
的取值范围;(2)通过
的范围及
的零点个数,即可确定函数恒成立的条件,通过构造函数的方法,转化成利用导函数求恒成立问题.
试题解析:(1),
由得到
或
(*)
由于仅有一个极值点,
关于的方程(*)必无解,
①当时,(*)无解,符合题意,
②当时,由(*)得
,故由
得
,
由于这两种情况都有,当时,
,于是
为减函数,当
时,
,于是
为增函数,∴仅
为
的极值点,综上可得
的取值范围是
;
(2)由(1)当时,
为
的极小值点,
又∵对于
恒成立,
对于
恒成立,
对于
恒成立,
∴当时,
有一个零点
,当
时,
有另一个零点
,
即,
且,(#)
所以,
下面再证明,即证
,
由得
,
由于为减函数,
于是只需证明,
也就是证明,
,
借助(#)代换可得,
令,
则,
∵为
的减函数,且
,
∴在
恒成立,
于是为
的减函数,即
,
∴,这就证明了
,综上所述,
.
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【题目】如图,平面ABCD⊥平面ADEF,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为矩形,M、N分别是EF、BC的中点,AB=2AF=2,∠CBA=60°.
(1)求证:AN⊥DM;
(2)求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值;
(3)求三棱锥D﹣MAN的体积.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
和抛物线
交于
两点,且直线
恰好通过椭圆
的右焦点
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过的直线
和椭圆
交于
两点,交抛物线于
两点,
是抛物线的焦点,是否存在直线
,使得
,若存在,求出直线
的方程,若不存在,说明理由。
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【题目】已知椭圆的离心率为
,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆
过椭圆
的上顶点
作圆
的两条切线分别与椭圆
相交于
两点(不同于点
),直线
的斜率分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当变化时,①求
的值;②试问直线
是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系 中,直线
的参数方程为
为参数),以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆
的方程为
.
(1)求直线 的普通方程和圆
的圆心的极坐标;
(2)设直线 和圆
的交点为
、
,求弦
的长.
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【题目】观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:
温度 | -5 | 0 | 6 | 8 | 12 | 15 | 20 |
生长速度 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求生长速度关于温度
的线性回归方程;(斜率和截距均保留为三位有效数字);
(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从至
时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是
时,预测这月大约能生长多少.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
.
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【题目】已知向量,
,函数
,函数
在
轴上的截距我
,与
轴最近的最高点的坐标是
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移
(
)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数
的图象,求
的最小值.
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