Question

18．水是最常见的物质之一，是包括人类在内所有生命生存的重要资源，也是生物体最重要的组成部分，为了推动对水资源迸行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严峻的淡水缺乏问题，开展广泛的宣传以提高公众对开发和保护水资源的认识，中国水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”，以提倡市民节约用水．某市统计局凋查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示．将月用水量落人各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．
（I）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计该地家庭的平均用水量；
（Ⅱ）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的用水量低于4吨的概率；
（Ⅲ）用X表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图估计该地家庭的平均用水量．
（Ⅱ）频率分布直方图得用水量不低于12吨的频率和月用水量低于4吨的频率，由此能求出有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的用水量低于4吨的概率．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，0.3），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图估计该地家庭的平均用水量为：
$\overline{x}$=2×0.0375×4+6×0.0625×4+10×0.075×4+14×0.05×4+18×0.025×4=9.4（吨）．
（Ⅱ）频率分布直方图得用水量不低于12吨的频率为（0.05+0.025）×4=0.3，月用水量低于4吨的频率为0.0375×4=0.15，
∴有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的用水量低于4吨的概率：
p=0.3×0.3×0.15+0.3×0.3×0.15=0.027．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，0.3），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.7）^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.3）（0.7）^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.3）^{2}（0.7）$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.3）^{3}$=0.027，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

EX=3×0.3=0.9．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．