Question

【题目】已知函数f（x）=ex+2ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a≥0时，函数f'（x）=ex+2a＞0，f（x）在R上单调递增；

当 a＜0 时，f'（x）=ex+2a，

令 ex+2a=0，得x=ln（﹣2a），

所以，当x∈（﹣∞，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增

（2）解：由（1）可知，当a≥0时，函数f（x）=ex+2ax＞0，不符合题意．

当a＜0时，f'（x）=ex+2a，

因为，当x∈（﹣∞，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．

①当ln（﹣2a）≤1，即 ≤a＜0时，f（x）最小值为f（1）=2a+e．

解2a+e=0，得a=﹣ ，符合题意．

②当ln（﹣2a）＞1，即a＜﹣ 时，f（x）最小值为f（ln（﹣2a））=﹣2a+2aln（﹣2a）．

解﹣2a+2aln（﹣2a）=0，得a=﹣ ，不符合题意．

综上，a=﹣

（3）解：构建新函数g（x）=ex﹣e﹣x+2ax，g'（x）=ex+e﹣x+2a，

①当 2a≥﹣2，即 a≥﹣1时，

因为 ex+e﹣x≥2，所以g'（x）≥0（且a=﹣1时，仅当x=0时，g'（x）=0）

所以g（x）在R上单调递增．

又g（0）=0，所以当a≥﹣1时，对于任意x≥0都有g（x）≥0．

②当a＜﹣1时，解ex+e﹣x+2a＜0，即（ex）2+2aex+1＜0，

得﹣a﹣ ＜ex＜ ，

其中0＜﹣a﹣ ＜1，﹣a+ ＞1

所以ln（﹣a﹣ ）＜x＜ln（﹣a+ ），

且ln（﹣a﹣ ）＜0，ln（﹣a+ ）＞0，

所以g（x）在（0，ln（﹣a+ ））上单调递减，

又g（0）=0，所以存在x0∈（0，ln（﹣a+ ）），使得g（x0）＜0，不符合题意．

综上，a的取值范围为[﹣1，+∞）

【解析】本题属于导数综合题，属难题．（1）对a分类讨论，判断f'（x）是否存在零点．若存在零点，根据f'（x）判断f（x）的单调性；（2）根据第1题的分类讨论情况，判断f（x）的最小值点；然后根据f（x）min=0，求出a的值；（3）此题属于导数恒成立问题，通常采购构造新函数来求解．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．