Question

【题目】已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤ ；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），

即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤ ；

（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，

则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，

由x≥1得，2x≥3，解得，x≥ ；

由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣ ，

由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．

综上，可得x≥ 或x≤﹣ ．

则实数x的取值范围是（﹣ ]∪[ ）

【解析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法和不等式的证明，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．