Question

【题目】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，

因为P（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；

即他们的累计得分x≤3的概率为

（2）解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）

由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），

∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，

从而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，

由于E（2X1）＞E（3X2），

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大

【解析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．