Question

16．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，$0＜β＜\frac{π}{2}＜α＜π$．
（1）若$α=\frac{3}{4}π$，$cos（{α-β}）=\frac{2}{3}$，求sin2β的值；
（2）证明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角公式，诱导公式，求得sin2β的值．
（2）由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，证得公式成立．

解答 解：（1）由$cos（{α-β}）=\frac{2}{3}$，可得cos（2α-2β）=2cos²（α-β）-1=-$\frac{1}{9}$，
∵$α=\frac{3}{4}π$，∴cos（$\frac{3π}{2}$-2β）=-$\frac{1}{9}$，∴sin2β=$\frac{1}{9}$．
（2）由题意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$与 $\overrightarrow{OB}$的夹角为α-β，$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ=1×1×cos（α-β），
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立．

点评 本题主要考查二倍角公式，诱导公式的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．