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    【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．

    （Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

    （Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

    （Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

    广告投入x（单位：万元）

    1

    2

    3

    4

    5

    销售收益y（单位：万元）

    2

    3

    2

    7

    表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．

    回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

    【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为，可计算小长方形的宽度；（Ⅱ）平均值为各组的区间中点值与对应组频率乘积之和，由此可求平均值的估计值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空白处应为，由此计算，然后结合所给公式求，从而求出回归直线方程．

    试题解析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知

    ，故；

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，

    其中点分别为，对应的频率分别为，

    故可估计平均值为；

    （Ⅲ）空白栏中填5．

    由题意可知，，，

    ，，

    根据公式，可求得，，

    即回归直线的方程为．

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