Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠CAB=

π

6

，M为△ABC的外心，且

CM

=λ

CA

+μ

CB

，则λ+2μ=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：连接AM，BM，延长AM交BC于D，所以根据已知条件即知D为BC边的中点，并且AD⊥BC，∠BMC=

π

3

，所以△MBC是等边三角形，设外接圆半径为r，在

CM

=λ

CA

+μ

CB

两边同乘以

CB

，根据数量积的计算公式并结合图形可得到

1

2

r2=

λ

2

r2+μr2，所以到这即求出了λ+2μ=1．

解答： 解：如图，连接AM，BM，延长AM交BC于D，由已知条件知D为BC中点，且AD⊥BC；
∵∠CAB=

π

6

，∴∠BMC=

π

3

，又MB=MC；
∴△MBC为等边三角形，设外接圆半径为r，则|BC|=r；
∴

CM

•

CB

=λ

CA

•

CB

+μ

CB

2；
∴

1

2

r2=

λ

2

r2+μr2；
∴λ+2μ=1．
故答案为：1．

点评：考查三角形外接圆的概念，以及圆心角和圆周角的关系，以及数量积的计算公式：

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞．