Question

已知不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-

1

2

，2），对于a，b，c有以下结论：（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c＞0；（5）a-b+c＞0，其中正确讨论的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-

1

2

，2），可知a＜0，可判断（1）；
（2）与（3）依题意，-

1

2

与2为方程ax²-bx+c=0的两个根，结合（1）可判断（2）与（3）；
（4）令f（x）=ax²-bx+c，则y=f（x）为开口向下的抛物线，其对称轴x=

b

2a

=

3

4

，可知f（-1）=a+b+c＜0，可判断（4）；
（5）不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-

1

2

，2），可知f（1）=a-b+c＞0，可判断（5）．

解答： 解：∵不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-

1

2

，2），
∴a＜0，故（1）错误；
依题意，-

1

2

与2为方程ax²-bx+c=0的两个根，
∴

- 1 2 +2= b a ① -1•2= c a ②

，由①②得b=

3

2

a＜0，c=-2a＞0，故（2）错误，（3）正确
令f（x）=ax²-bx+c，则y=f（x）为开口向下的抛物线，其对称轴x=

b

2a

=

3

4

，
则f（-1）=a+b+c＜f（-

1

2

）=0，故（4）错误；
∵不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-

1

2

，2），
∴f（1）=a-b+c＞0，故（5）正确．
故答案为：（3）（5）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查方程思想、构造函数思想与综合运算求解能力，属于中档题．