Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1两渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又设l与l₂交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
（1）当l₁与l₂夹角为

π

3

，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若

FA

=λ

AP

，求λ的最小值．

Answer 1

（1）由l₁与l₂夹角为

π

3

知，

b

a

=tan

π

6

=

3

3

…（1分）
又焦距为4∴a=

3

，b=1
∴椭圆C：

x2

3

+y2=1，
e=

2

3

=

6

3

．…（3分）
（2）不妨设l1：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x则l：y=-

a

b

(x-c)
联立：

y=- a b (x-c) y=- a b x

⇒P（

a2

c

，-

ab

c

）
由

FA

=λ

AP

得，

XA= c+λ• a2 c 1+λ yA= λ•(- ab c ) 1+λ

又点A椭圆上，∴

(c+ λa2 c )2

(1+λ)2a2

+

(- abλ c )2

(1+λ)2•b2

=1
整理得λ²=

(a2-c2)c2

a2(2a2-c2)

…（7分）
∴λ²=

e2-e4

2-e2

=

(e2-2)2+3(e2-2)+2

e2-2

=（e²-2）+

2

e2-2

+3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1
∴-3＜（e²-2）+

2

e2-2

≤-2

2

∴0＜λ²≤3-2

2

．
由题知，λ＜0∴1-

2

≤λ＜0…（9分）
所以，λ的最小值为1-

2

．…（10分）