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如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=
4
2
3
,|CD|=2-
4
2
3
,AC⊥BD.M为CD的中点.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数λ0,使
MP
0
PN
,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(Ⅲ)过(0,
1
2
)的直线与轨迹E交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
(Ⅰ)设点M的坐标为M(x,y)(x≠0),则 C(x,y-1+
2
2
3
),D(x,y+1-
2
2
3

又A(0,
2
2
3
),B(0,-
2
2
3
),由AC⊥BD有
AC
BD
=0,即(x,y-1)•(x,y+1)=0,
∴x2+y2=1(x≠0).(4分)
(Ⅱ)设P(x,y),则M((1+λ0)x,y),代入M的轨迹方程(1+λ02 x2+y2=1(x≠0)
x2
(
1
1+λ0
)2
+y2=1
(x≠0),
∴P的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).
要P到A、B的距离之和为定值,则以A、B为焦点,故1+
1
(1+λ0)2
=(
2
2
3
)2

∴λ0=2,
∴所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0).…(9分)
(Ⅲ)易知l的斜率存在,设方程为y=kx+
1
2
,代入椭圆方程可得(9+k2)x2+kx-
3
4
=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-
k
9+k2
,x1x2=-
3
4(9+k2)

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4k2+27
(9+k2)2

令t=k2+9,则|x1-x2|=
4t-9
t2
且t≥9.
∴S△OPQ=
1
2
1
2
|x1-x2|=
1
4
-9(
1
t
-
2
9
)2+
4
9

∵t≥9,
∴0
1
t
1
9

∴当
1
t
=
1
9
,即t=9也即k=0时,△OPQ面积取最大值,最大值为
3
12
.…(12分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
两渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又设l与l2交于点P,l与C两交点自上而下依次为A、B;
(1)当l1与l2夹角为
π
3
,双曲线焦距为4时,求椭圆C的方程及其离心率;
(2)若
FA
AP
,求λ的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,动直线l:y=k(x+2)与抛物线C交于不同两点A,B
(1)求证:
OA
OB
为常数;
(2)求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知曲线C:
x2
m+2
+
y2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(Ⅱ)设m=2,过点D(0,4)的直线l与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点,若∠OMN为直角,求直线l的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y2=12x,点M(-1,0),过M的直线l交抛物线C于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过如下五个点中的三个点:P1(-1,-
2
2
)
,P2(0,1),P3(
1
2
2
2
)
P4(1,
2
2
)
,P5(1,1).
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设点A为椭圆M的左顶点,B,C为椭圆M上不同于点A的两点,若原点在△ABC的外部,且△ABC为直角三角形,求△ABC面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(1)已知△ABC的顶点A(0,-1),B(0,1),直线AC,直线BC的斜率之积等于m(m0),求顶点C的轨迹方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线.
(2)已知圆M的方程为:(x+1)2+y2=(2a)2(a>0,且a1),定点N(1,0),动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q,求点Q轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图.已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率e=
3
2
,F1为椭圆的左焦点且
AF1
F1B
=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ.连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

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