Question

已知抛物线C：y²=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

Answer 1

（Ⅰ）设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) y2=12x

得k²x²+（2k²-12）x+k²=0．…（2分）
因为k²≠0，且△=（2k²-12）²-4k⁴=144-48k²＞0，
所以，k∈(-

3

，0)∪(0，

3

)．…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

12-2k2

k2

，x₁x₂=1．…（5分）
因为线段AB中点的横坐标等于2，所以

x1+x2

2

=

6-k2

k2

=2，…（6分）
解得k=±

2

，符合题意．…（7分）
（Ⅱ）证明：依题意A'（x₁，-y₁），直线A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，…（8分）
又

y

21

=12x1，

y

22

=12x2，
所以y=

12

y2-y1

(x-x2)+y2，…（9分）=

12

y2-y1

x-

y1y2

y2-y1

…（10分）
因为

y

21

y

22

=144x1x2=144，且y₁，y₂同号，所以

y

1

y

2

=12，…（11分）
所以y=

12

y2-y1

(x-1)，…（12分）
所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）