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在平面直角坐标系中,已知A1(-3,0)A2(3,0)P(x,y)M(
x2-9
,0),若向量
A1P
λ
OM
A2P
满足(
OM
)2=3
A1P
A2P

(1)求P点的轨迹方程,并判断P点的轨迹是怎样的曲线;
(2)过点A1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B,能否在直线x=-9上找一点C,使△A1BC为正三角形.
(1)由A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
x2-9
,0),
可得
A1P
=(x+3,y),
A2p
=(x-3,y),
OM
=(
x2-9
,0)

(
OM
)2=3
A1P
A2P
,∴x2-9=3(x+3,y)•(x-3,y),
即x2-9=3x2+3y2-27,也就是2x2+3y2-18=0,即
x2
9
+
y2
6
=1

故P点的轨迹是与6为长轴长,2
3
为焦距,焦点在x轴上的椭圆;
(2)过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
y=x+3
x2
9
+
y2
6
=1
,得5x2+18x+9=0,x1=-3,x2=-
3
5

从而|A1B|=
1+k2
|x2-x1|=
12
5
2

设C(-9,y),则|A1C|=
(-9+3)2+(y-0)2
=
y2+36

∵△A1BC是正三角形,∴|A1B|=|A1C|,
y2+36
=
12
5
2

y2=-
612
25
,无解,
∴在直线x=-9上找不到点C,使△A1BC是正三角形.
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已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是______.

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动点P与两个定点A(-6,0),B(6,0)连线的斜率之积为-
1
3
,P点轨迹为C,
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l过M(-2,2)与C交于E,G两点,且线段EG中点是M,求l方程.

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已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,动直线l:y=k(x+2)与抛物线C交于不同两点A,B
(1)求证:
OA
OB
为常数;
(2)求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程.

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已知F是抛物线y2=4x上的焦点,P是抛物线上的一个动点,若动点M满足
FP
=2
FM
,则M的轨迹方程是______.

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已知曲线C:
x2
m+2
+
y2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(Ⅱ)设m=2,过点D(0,4)的直线l与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点,若∠OMN为直角,求直线l的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,短轴长为2,点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
,且
m
n
=0

(1)求椭圆方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率;
(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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