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已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,且当x=
1
4
时,函数f(x)有最小值-
1
8
.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
2
anan+1
,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn
m
20
对所有n∈N都成立的最小正整数m.
分析:(1)依题意,设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),由x=
1
4
时,函数f(x)有最小值-
1
8
,可得-
b
2a
=
1
4
,-
b2
4a
=-
1
8
,解出即可得到f(x)解析式,根据an=
a1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
即可求得an,注意检验n=1时的情况;
(2)由(1)写出bn表达式,并进行适当变形,利用裂项相消法即可求得Tn,Tn
m
20
对所有n∈N*都成立等价于Tn的最大值小于
m
20
,其最大值易求;
解答:解:(1)依题意,设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),
由于当x=
1
4
时,f(x)有最小值-
1
8

所以
-
b
2a
=
1
4
-b2
4a
=-
1
8
,解得a=2,b=-1,
所以f(x)=2x2-x,
又点(n,Sn)(n∈N*),均在函数y=f(x)的图象上,
所以Sn=2n2-n,
当n=1时,a1=S1=2×12-1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3;
a1=1也适合上式,
所以an=4n-3(n∈N*).
(2)由(1)得bn=
2
anan+1
=
2
(4n-3)(4n+1)
=
1
2
1
4n-3
-
1
4n+1
),
所以Tn=
1
2
[(1-
1
5
)+(
1
5
-
1
9
)+…+(
1
4n-3
-
1
4n+1
)]=
1
2
(1-
1
4n+1
).
因此,要使
1
2
(1-
1
4n+1
)<
m
20
(n∈N*)成立,m必须且只需满足
1
2
m
20
,即m≥10,
故满足要求的最小正整数m为10.
点评:本题考查数列递推式、数列与函数、数列与不等式的综合,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,综合性强,对能力有一定要求.
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π2
]
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12
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