Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用换元法，由（1）得f（x）=log₂（4^x-2^x），
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，再令t=2^x，则y=t²-t，可知函数y=（t-

1

2

）²-

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4

在[2，8]上是单调递增函数，从而当t=8时，取得最大值56，故x=3时，f（x）取得最大值．

解答： 解：∵函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴log₂（a-b）=1且log₂（a²-b²）=log₂12，
∴a-b=2，且a²-b²=（a-b）（a+b）=12，
∴a-b=2，且a+b=6，
解得：a=4，b=2
（2）由（1）得f（x）=log₂（4^x-2^x），
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x
令t=2^x，则y=t²-t
∵x∈[1，3]，
∴t∈[2，8]，
显然函数y=（t-

1

2

）²-

1

4

在[2，8]上是单调递增函数，
所以当t=8时，取得最大值56，
∴x=3时，f（x）最大值为log₂56=3+log₂7．

点评：本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．