Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的单调减区间为（0，2）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，根据x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的两个根，得到方程组解出即可；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，m＞

x

3(x2-2x+3)

，令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，求出g（x）的最大值，从而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
而函数f（x）=x³+ax²+bx+1的单调减区间为（0，2），
∴x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的两个根，
∴

b=0 12+4a+b=0

，
解得：a=-3，b=0；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，
即m（3x²-6x+9）＞x，∴m＞

x

3(x2-2x+3)

，
令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，
∴g′（x）=

1

3

•(

x

x2-2x+3

)′=

1

3

•

3-x2

(x2-2x+3)2

=0，
解得x=

3

或-

3

（舍去），
又g（0）=0，g（

3

）=

3 +1

12

，g（2）=

2

9

，
∴g（x） 的最大值为

3 +1

12

，
∴m＞

3 +1

12

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题，考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．