Question

（2008•湖北模拟）已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；
（Ⅱ）若函数y=x²+x-5的图象与函数y=

k-2

x

的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）记函数|f'（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在x=1时，有极值-1，可得

3+2b+c=0 1+b+c=2

，解得b=1，c=-5，要注意验证．
（Ⅱ）将图象恰有三个不同的交点，转化为方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三个不同的解，进一步转化为x³+x²-5x+2=k（x≠0），f（x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，求出函数的极值可解；
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+

b

3

）²+c|，由二次函数最值求法去讨论求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c，由题知f′（1）=0⇒3+2b+c=0，f′（1）=-1⇒1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（2分）f（x）=x³+x²-5x+2，f′（x）=3x²+2x-5f（x）在(-

5

3

，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数∴b=1，c=-5符合题意．（3分）
（Ⅱ）即方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三个不同的解：x³+x²-5x+2=k（x≠0）
即当x≠0时，f（x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，
由（1）知f（x）在(-∞，-

5

3

)为增函数，f（x）在(-

5

3

，1)为减函数，f（x）在（1，+∞）为增函数，
又f(-

5

3

)=

229

27

，f（1）=-1，f（0）=2
∴-1＜k＜

229

27

且k≠2（8分）
（Ⅲ）|f′(x)|=|3x2+2bx+c|=|3(x+

b

3

)2+c-

b2

3

|
①当|-

b

3

|≥1即|b|≥3时，M为|f′（1）|与|f′（-1）|中较大的一个
2M≥|3+2b+c|+|3-2b+c|≥|3+2b+c-（3-2b+c）|=|4b|≥12
∴2M≥6，M≥3，满足M≥

3

2

②当|-

b

3

|≤1即-3≤b≤3时，M为|f′(1)|，|f′(-1)|，|f′(-

b

3

)|中较大的一个4M≥|f′(1)|+|f′(-1)|+|f′(-

b

3

)|+|f′(-

b

3

)|=|3+2b+c|+|3-2b+c|+2|c-

b2

3

|≥|3+2b+c+3-2b+c-2c+

2b2

3

|=|6+

2

3

b2|≥6
∴M≥

3

2

综合①②可知M≥

3

2

（14分）

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值，即图象的交点与方程解之间的联系，考查学生分析解决问题的能力．