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    已知函数

    （Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；

    （Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：

    （Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.      

     

    【答案】

    （Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）利用导数求解单调性，把恒成立转化为最值；（Ⅱ）可用数学归纳法来证明；（Ⅲ）通过放缩法来解决与的大小比较问题.

    试题解析：(Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b

    ∴

    ∴

    要使函数在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内恒大于等于0或恒小于等于0，

    当a=0时，在（0，+∞）内恒成立；

    当a>0时， 恒成立，则∴

    当a<0时， 恒成立

    ∴a的取值范围是:       5分

    (Ⅱ)   ∴a=1    则：

    于是

    用数学归纳法证明如下：

    当n=1时，，不等式成立；

    假设当n=k时，不等式成立，即也成立，

    当n=k+1时，

    所以当n=k+1时不等式成立，

    综上得对所有时，都有          10分

    （Ⅲ）由（2）得

    于是

    所以 ，

    累称得：则

    所以    13分

    考点：利用导数处理单调性，数列中的数学归纳法、放缩法.

     

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    2
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    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]≥f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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