Question

已知函数f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；
（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析：（1）二次函数的值域，可以结合二次函数的图象去解答，这里二次函数图象开口向上，△=0时，值域为[0，+∞）
（2）在（1）的结论下，化简函数f（a），转化为求二次函数在闭区间上的最值问题．

解答：解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x²-4ax+2a+6图象不在x轴下方，
∴△=0，即16a²-4（2a+6）=0，∴2a²-a-3=0，
解得：a=-1或a=

3

2

．
（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
有△≤0，即-1≤a≤

3

2

；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a²-3a+2=-(a+

3

2

)²+

17

4

，其中  (a∈[-1，

3

2

])；
∴二次函数f（a）在[-1，

3

2

]上单调递减．
∴f(

3

2

)≤f（a）≤f（-1），即-

19

4

≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为[-

19

4

，4]．

点评：本题属于二次函数的值域问题，通常结合二次函数的图象，容易解得问题．