Question

设是首项为，公差为的等差数列(d≠0)，是其前项和．记b_n=,
，其中为实数．
(1) 若，且，，成等比数列，证明：S_nk=n²S_k(k,n∈N⁺)；
(2) 若是等差数列，证明：．

Answer 1

(1)见解析
(2)见解析

(1)由题意知,S_n=na+d
∴时，b_n=,
∴b₁==a,b₂==a+,b₄==a+
成等比
∴b₁b₄=a(a+)="(" a+)² d=2ad
∵d≠0∴d=2aS_n=n²aS_nk=(nk)²a
又n²S_k=n²k²a∴S_nk=n²S_k
（2）由已知b_n==
是等差数列,设（k,b为常数）kn+b=
即对任意恒成立
也即2k－d=0,2b+d－2a=0,2ck=0,2bc=0
∵d≠0
∴k≠0c=0
此时k=,b=命题得证