Question

已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（

3

，0）与定直线l₁：x=

4 3

3

的距离之比为常数

3

2

．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）以曲线c的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

分析：（1）利用条件，建立方程，化简，即可求曲线c的轨迹方程；
（2）用坐标表示出向量的数量积，再用配方法求最值，求出M的坐标，代入圆的方程，即可求得结论．

解答：解：（1）因为曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（

3

，0）与定直线l₁：x=

4 3

3

的距离之比为常数

3

2

所以

(x-3)2+y2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

，
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以y12=1-

x12

4

．
由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故当x₁=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

．
此时，y₁=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），
又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=

13

25

．
故圆T的方程为：(x+2)2+y2=

13

25

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．