Question

17．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；
（Ⅱ）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|-|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，由基本不等式可得；
（Ⅱ）问题转化为|2x-1|-|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$
≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9；
（Ⅱ）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|-|x+1|对任意a，b恒成立，
则需|2x-1|-|x+1|≤9，可转化为$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-（2x-1）+（x+1）≤9}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）≤9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜\frac{1}{2}}\\{-（2x-1）-（x+1）≤9}\end{array}\right.$，
分别解不等式组可得-7≤x≤-1，$\frac{1}{2}$≤x≤11，-1＜x＜$\frac{1}{2}$
综合可得x的取值范围为[-7，11]

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．