Question

【题目】已知a+b=1，对a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴+=(a+b)(+)=5+
当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即a=,b=时，等号成立，
故+的最小值为9．
（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使+恒成立，
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，
当 时，﹣3x≤9，∴，
当 时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．
【解析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+ ， 结合基本不等式求解表达式的最小值；
（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围。