Question

某公司生产一种产品，其固定成本为0.5万元，但每生产100件产品需要增加投入0.25万元，设销售收入为R（x）（万元）且R(x)=

5x-0.5x2 (0≤x≤5) 12.5 (x＞5)

，其中x是年产量（单位百件）．
（1）把利润H（x）（万元）表示成年产量的函数．
（2）当年产量是多少时，当年公司的利润最大值多少？

Answer 1

分析：（1）利润函数H（x）=销售收入函数R（x）-成本函数，x是产品售出的数量（产量），代入解析式即可；
（2）由利润函数是分段函数，分别求出最大值，一段利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，一段利用函数的单调性可求出最值，比较即可．

解答：解：（1）当0≤x≤5时，H（x）=R（x）-（0.5+0.25x）=-0.5x²+4.75x-0.5…（2分）
当x＞5时H（x）=12.5-0.5-0.25x=-0.25x+12…（2分）
综上所述：H(x)=

-0.5x2+4.75x-0.5 0≤x≤5 -0.25x+12 x＞5

…（2分）
（2）当0≤x≤5时，∵H（x）=-0.5x²+4.75x-0.5
∴x=4.75，H（x）_max=H（4.75）=10.78125…（3分）
当x＞5时H（x）=12-0.25x在（5，+∞）内是减函数
∴H（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75
而10.75＜10.78125…（2分）
∴当年产量为4.75百件时，公司的最大利润为10.78125万元．…（1分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数和二次函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．