Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S=5

3

，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin（A-

π

6

）的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将S以及sinA的值代入求出bc的值，再由b的值求出c的值，所求式子利用正弦定理化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）由acosC+

3

asinC-b-c=0及正弦定理得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，
∵B=π-A-C，
即sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC-sinB=-cosAsinC，
∴

3

sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（2）由S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=5

3

，得bc=20，
又b=5，∴c=4，
由余弦定理得a²=b²+c²=2bccosA=25+16-20=21，
∴a=

21

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：sinB=

bsinA

a

，sinC=

csinA

a

，
则sinBsinC=

bsinA

a

•

csinA

a

=

bc

a2

sin²A=

20

21

×

3

4

=

5

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．