Question

（2013•静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．
（1）求B的取值范围；
（2）若x=B，关于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的性质，结合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范围；
（2）关于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）＞-m恒成立，求出左边的最小值，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac（1分）
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

（3分）
∵a²+c²≥2ac，∴cosB=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，等号当且仅当a=c时取得，
∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤

π

3

．（7分）
（2）关于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）＞-m恒成立，
cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）=cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）cos（

π

4

+

x

2

）
=2cosx²-2cosx-1=2（cosx-

1

2

）²-

3

2

（11分）
∵x=B，∴

1

2

≤cosx＜1
∴2（cosx-

1

2

）²-

3

2

≥-

3

2

由题意有：-m＜-

3

2

，即m＞

3

2

（14分）
（说明：这样分离变量m＞2cosx-cos2x=-2cos²x+2cosx+1参照评分）

点评：本题考查等比数列的性质，考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．