Question

在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，记数列的前n项和为S_n，若对n∈N₊恒成立，则正整数m的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题干中的等式变形得出数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，得出{}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，得出数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项，再由S_2n+1-S_n≤，求出正整数得m的最小值．
解答：解：在等差数列{a_n}中，∵a₂=5，a₆=21，
∴，
解得a₁=1，d=4，
∴==，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（++…+）-（++…+）
=--
=--
=（-）+（-）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=+=，
∵≤，∴m≥，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为5．
故答案为：5．
点评：本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，证明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解题的关键．