Question

已知函数f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R．
（1）当a=-4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=-4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；
（2）令t=2^x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为方程t²+at+3=0在（1，+∞）上有两个不等实根，求a的取值范围．然后结合该二次方程对应的二次函数图象与t轴的交点列不等式组求解a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-4时，令t=2^x，
由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t²-4t+3=（t-2）²-1
当t=2时，y_min=-1；当t=4时，y_max=3．
∴函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）令t=2^x，由x＞0知t＞1，且函数t=2^x在（0，+∞）单调递增．
∴原问题转化为方程t²+at+3=0在（1，+∞）上有两个不等实根，求a的取值范围．
设g（t）=t²+at+3，则

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)＞0

，即

a2-12＞0 a＜-2 a+4＞0

，解得-4＜a＜-2

3

．
∴实数a的取值范围是(-4，-2

3

)．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合求参数的取值范围，是中档题．