Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且不等式x²-6x+8＜0的解集为{x|a₂＜x＜a₄}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）若b_n=a_n+2 a n，求数列{b_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由不等式x²-6x+8＜0解得2＜x＜4．可得a₂，a₄．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=a_n+2 a n=n+2ⁿ，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由不等式x²-6x+8＜0解得2＜x＜4．
又不等式x²-6x+8＜0的解集为{x|a₂＜x＜a₄}．
∴a₂=2，a₄=4．
∵等差数列{a_n}是递增数列，
∴4=2+2d，解得d=1．
∴a_n=2+（n-2）×1=n．
（2）b_n=a_n+2 a n=n+2ⁿ
∴S_n=

n(1+n)

2

+

2(2n-1)

2-1

=

n(n+1)

2

+2n+1-2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．