Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．
（1）求S与α的函数关系f（α）；
（2）求S=f（α）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得△AOD为等边三角形，求得BC=2sin（-α）=cosα-sinα．再求得∠ABO=-α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．
可得矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+）-．再由 0＜α＜，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．
解答：解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=-2α，△AOD为等边三角形．
故BC=2sin（-α）=2（cosα-sinα）=cosα-sinα．
再由∠ABO=π-∠AOB-∠OAD-∠BAD=π-α--=-α，△OAB中，利用正弦定理可得，
即 =，化简可得AB=2sinα．
故矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sinαcosα-2sin²α=sin2α+cos2α-=2（sin2α+cos2α）-
=2sin（2α+）-．
再由 0＜α＜可得 ＜2α+＜，故当 2α+=，即当时，S=f（α）取得最大值为．
点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．