Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣ +cx+d有极值．
（Ⅰ）求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜ +2d恒成立，求实数d的取值范围．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵f（x）= x3﹣ x2+cx+d，

∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，

从而△=1﹣4c＞0，

∴c＜ ．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，

∴f′（2）=4﹣2+c=0，

∴c=﹣2．

∴f（x）= x3﹣ x2﹣2x+d，

∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．

∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值 +d，

∵x＜0时，f（x）＜ d2+2d恒成立，

∴ +d＜ d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）

【解析】（1）对f（x）进行求导，要使f（x）有极值，只需要f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而转化为二次函数的根的个数，只需△>0，解出即可得到c的范围，（2）f（x）在x=2处取得极值，f′（2）=4﹣2+c=0，解出c的值，分析f（x）的单调性，进而分析出当x<0时，函数的最大值，又由当x<0时，f（x）＜ d2+2d恒成立，得出关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．