Question

将函数y=sinπx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,正弦函数的图象

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出函数的零点，得到数列{a_n}是等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由y=sinπx=0得，πx=nπ，即x=n，n∈N^•，
它在（0，+∞）内的全部零点构成以1为首项，1为公差的等差数列，
则数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（Ⅱ）∵b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
则2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
则T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据错位相减法是解决本题的关键．