Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）若E，F分别为PC，BD中点，求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：PA⊥CD；
（Ⅲ）若PA=PD=

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AD，求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC．由正方形性质得AC与BD互相平分，由三角形中位线定理得EF∥PA．由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由线面垂直得CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．由此能证明PA⊥CD．
（Ⅲ）由勾股定理得PA⊥PD．再由PA⊥CD，得PA⊥平面PCD．由此能证明面PAB⊥平面PCD．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，
所以AC与BD互相平分．
又因为F是BD中点，所以F是AC中点．
在△PAC中，E是PC中点，F是AC中点，
所以EF∥PA．
又因为EF?平面PAD，PA?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．
又因为PA?平面PAD，
所以CD⊥PA．故PA⊥CD．…（9分）
（Ⅲ）证明：在△PAD中，因为PA=PD=

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AD，
所以PA⊥PD．
由（Ⅱ）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，
所以PA⊥平面PCD．
又因为PA?平面PAB，
所以面PAB⊥平面PCD．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．