Question

已知函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（1），即可得到切线的方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，再对a分类讨论即可得出；
（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+

1

2

ax2-ax，由于对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．利用研究函数g（x）的单调性和对a分类讨论即可得出．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

1

2

x2-2x，f′（x）=

1

x

+x-2．
∵f′（1）=0，f（1）=-

3

2

．
∴切线方程是y=-

3

2

．
（2）函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=

1

x

+ax-(a+1)=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=1或x=

1

a

．
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-

1

2

a-1=-2，解得a=2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)，∴-lna-

1

2a

-1=-2，即lna+

1

2a

=1．
令h（a）=lna+

1

2a

，h′(a)=

1

a

-

1

2a2

=

2a-1

2a2

=0，可得a∈(

1

e

，

1

2

)函数h（a）单调递减，a∈(

1

2

，1)函数h（a）单调递增．
而h(

1

e

)=-1+

e

2

＜1，不合题意．
当

1

a

≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+

1

2

ae2-（a+1）e=-2，解得a=

6-2e

2e-e2

＜0，不合题意．
综上可得：a=2．
（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+

1

2

ax2-ax，
∵对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，
∴只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而g′（x）=ax-a+

1

x

=

ax2-ax+1

x

．
当a=0时，g′(x)=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要ax²-ax+1≥0，
则需要

a＞0 △=a2-4a≤0

，解得0＜a≤4．
综上a的取值范围是：0≤a≤4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、二次函数与判别式的关系等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的是幸福方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．