Question

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的及前n项和T_n；
（3）试求所有的正整数m，使得

amam+1

am+2

为数列{a_n}中的项．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公差为d，由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知，当n≤3时，a_n＜0；当n＞3时，a_n＞0.Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-5+2n-7)

2

=n2-6n．由此能求出数列{|a_n|}的及前n项和T_n．
（3）

amam+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

，令2m-3=t，则

amam+1

am+2

=

(t-4)(t-2)

t

=t+

8

t

-6．由此能求出满足条件的正整数m=2．

解答： 解：（1）设公差为d，则

a

2 2

-

a

2 5

=

a

2 4

-

a

2 3

，
由等差数列性质得-3d（a₄+a₃）=d（a₄+a₃）．
因为d≠0，所以

a

4

+

a

3

=0，即2a₁+5d=0①．
又由S₇=7得7a1+

7×6

2

d=7，即a₁+3d②．
联立①②解得a₁=-5，d=2，
所以a_n=2n-7（n∈N^*）．
（2）由（1）知，当n≤3时，a_n＜0；
当n＞3时，a_n＞0．
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-5+2n-7)

2

=n2-6n．
∴当n≤3时，Tn=-Sn=-n2+6n；
当n＞3时，Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=(n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18．
综上，Tn=

-n2+6n，n≤3 n2-6n+18，n＞3

．
（3）

amam+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

，
令2m-3=t，则

amam+1

am+2

=

(t-4)(t-2)

t

=t+

8

t

-6．
故t为8的约数，又∵t是奇数，∴t的可能取值为±1．
当t=1时，m=2，

a2a3

a4

=3=2×5-7是数列{a_n}中的第5项；
当t=-1时，m=1，

a1a2

a3

=-15=2×(-4)-7不是数列{a_n}中的项．
所以满足条件的正整数m=2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的绝对值的前n项和的求法，考查满足条件的实数的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．