Question

已知函数f（x）=x³+ax²．
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）当a=1时，f′（x）=3x²+2x，令f′（x）=0得x=0或x=-

2

3

，从而求出函数的单调区间，
（2）由函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，于是对任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即对任意的x∈[1，2]恒有a≥-

3

2

x，从而a≥[-

3

2

x]max，而函数y=-

3

2

x在区间[1，2]上是减函数，进而求出a的范围．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax，
（1）当a=1时，f′（x）=3x²+2x，
令f′（x）=0得x=0或x=-

2

3

，
∴当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，0)	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）的递增区间是(-∞，-

2

3

)，（0，+∞）；递减区间是(-

2

3

，0)．
（2）∵函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴对任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即对任意的x∈[1，2]恒有a≥-

3

2

x，
∴a≥[-

3

2

x]max，而函数y=-

3

2

x在区间[1，2]上是减函数，
∴当x=1时，函数y=-

3

2

x取最大值-

3

2

，
∴a≥-

3

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，参数的取值，导数的应用，是一道基础题．