Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，记F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）求函数F（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=

1

e

．又f（e）=1，从而求出函数f（x）在x=e处的切线方程，
（2）由F（x）=lnx-ax-1，得F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．分情况讨论①当a≤0时，②当a＞0时，令F′（x）＜0，从而得出单调区间．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函数f（x）在x=e处的切线方程为
y-1=

1

e

（x-e），
即y=

1

e

x．                 
（2）F（x）=lnx-ax-1，
∴F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
①当a≤0时，F′（x）＞0，F（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令F′（x）＜0，解得x＞

1

a

；令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的增区间是（0，

1

a

），减区间是（

1

a

，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．