Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（

1

2

）=0，数列{a_n}满足：a_n=f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求f（0）及f（1）的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（

1

4

） an-（

1

2

） 3+an，试问数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用赋值法，分别令x=y=0，x=y=

1

2

，求得f（0）及f（1）的值；
（Ⅱ）令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2，即a_n+1-a_n=2，问题得以解决；
（Ⅲ）数列{b_n}存在最大项和最小项，利用换元和配方法，去求最值

解答： 解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，取 x=y=0，得f（0）=-1，
在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，取x=y=

1

2

，得f（1）=1，
（Ⅱ）在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，令x=n，y=1，
得f（n+1）=f（n）+2，即a_n+1-a_n=2，
所以数列{a_n}是等差数列，公差为2，又首项a₁=f（1）=1，所以a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅲ）数列{b_n}存在最大项和最小项，
令t=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1，则bn=t2-

1

8

t=(t-

1

16

)2-

1

256

，
显然0＜t≤

1

2

，又因为n∈N^*，
所以当t=

1

2

，即n=1时，数列{b_n}的最大项为b1=

3

16

．
当t=

1

32

，即n=3时，数列{b_n} 的最小项为b3=-

3

1024

．

点评：本题主要考查了抽象函数的应用，以及等差数列，函数的最值问题，灵活转化时关键，属于中档题．