Question

如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=2，AC=AP=4，PB=2

5

，PA⊥BC，∠BAC=60°．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为AB的中点，求直线CE与平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明PA⊥AB，利用PA⊥BC，AB∩BC=B，即可证明PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求出C到平面PAB的距离，CE，即可求直线CE与平面PAB所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=2，AP=4，PB=2

5

，
∴AB²+AP²=PB²，∴PA⊥AB，
∵PA⊥BC，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设C到平面PAB的距离为h，直线CE与平面PAB所成角为α，则
由等体积可得

1

3

•

1

2

•4•2•sin60°=

1

3

•

1

2

•4•2•h，
∴h=

3

2

，
∵E为AB的中点，
∴CE=

1+12

=

13

，
∴sinα=

3 2

13

=

3

2 13

，
∴cosα=

7 13

26

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，正确运用线面垂直的判定定理是关键．