Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB₁，CC₁爬到点A₁，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC₁爬到点A₁．如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=

 

．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：将三棱柱沿着侧棱AA₁展开，则tanα=

1

3

．同理tanβ=

1

2

，再利用和角的正切公式，即可得出结论．

解答： 解：将三棱柱沿着侧棱AA₁展开，则tanα=

1

3

．
同理tanβ=

1

2

，
∴tan（α+β）=

1 3 + 1 2

1- 1 3 • 1 2

=1，
∵α+β∈（0，

π

2

），
∴α+β=

π

4

故答案为：

π

4

．

点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查和角的正切公式，正确运用侧面展开图是关键．