Question

先阅读下面的材料：“求

1+ 1+ 1+…

的值时，采用了如下方法：令

1+ 1+ 1+…

=x，则有x=

1+x

，两边同时平方，得x²=1+x，解得x=

1+ 5

2

（负值舍去）．”----根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数F（x）=

3+ 3+ 3+ 3+x

-x的零点为

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：利用类比的方法，令f（x）=

3+x

，则F（x）=f（f（f（f（x）））-x．解得即可，

解答： 解：令f（x）=

3+x

，则F（x）=f（f（f（f（x）））-x．若f（x₀）=x₀，则f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，…，f（f（f（f（x₀）））=x₀；反过来，若x₀满足f（f（f（f（x₀）））=x₀，由于f（x）在[0，+∞）上单调递增，由反证法可知，必有f（x₀）=x₀．综上可知，
方程f（f（f（f（x）））=x与f（x）=x同解，得x=

1+ 13

2

（负值舍去）．
故答案为：

1+ 13

2

点评：本题考查类比推理，考查学生的计算能力，解题的关键是掌握类比的方法