Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4^x，x∈（1，2）时，f（x）=

f(1)

x

，令g（x）=2f（x）-x-4x∈[-6，2]，则函数g（x）的零点个数为（　　）

• A、9
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由x∈[0，1]时，f（x）=4^x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，f（x）=

f(1)

x

=

4

x

，而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，画出函数图象，结合函数的图象可求．

解答： 解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4^x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）时，f（x）=

f(1)

x

=

4

x

，
∵g（x）=2f（x）-x-4，x∈[-6，2]，
令g（x）=2f（x）-x-4=0，
即f（x）=

1

2

x+2
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，
 分别画出函数y=f（x）在x∈[-6，2]，y=

1

2

x+2的图象，
∴y=f（x）在x∈[-6，2]，y=

1

2

x+2有8个交点，
故函数g（x）的零点个数为8个．


故选：B．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．