Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2）；
（Ⅰ）证明：数列{

bn

3n-1

}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，由此能求出an=2•3n-1．（n∈N^*）．
 （Ⅱ）（Ⅰ）当n≥2时，bn=3bn-1+2•3n-1，将其变形为

bn

3n-1

=

bn-1

3n-2

+2，由此能证明数列{

bn

3n-1

}是首项为

b1

30

=1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由已知得bn=(2n-1)•3n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，
∵n=1时，a₁=S₁也适合上式，
∴an=2•3n-1．（n∈N^*）．
 （Ⅱ）（Ⅰ）证明：当n≥2时，bn=3bn-1+2•3n-1，
将其变形为

bn

3n-1

=

bn-1

3n-2

+2，
即

bn

3n-1

-

bn-1

3n-2

=2，
∴数列{

bn

3n-1

}是首项为

b1

30

=1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

bn

3n-1

=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn=(2n-1)•3n-1，
∴Tn=1×30+3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1，
∴3Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）×3ⁿ，
两式相减，得2Tn=-1-2(3+32+…+3n-1)+(2n-1)×3n，
∴Tn=(n-1)•3n+1，n∈N*．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．