Question

已知a＞b＞0，且m=a+

1

(a-b)b

．
（Ⅰ）试利用基本不等式求m的最小值t；
（Ⅱ）若实数x，y，z满足x+y+z=3且x²+4y²+z²=t，求证：|x+2y+z|≤3．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由条件根据m=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

，利用基本不等式求得m的最小值．
（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得当且仅当x=z=

6

5

，y=

3

5

时，9≥（x+2y+z）² 成立，从而证得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
m=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

≥3

3	(a-b)b 1 (a-b)b

=3．
（当且仅当a-b=b=

1

(a-b)b

，即b=1，a=2时取“=”号），
∴m的最小值t=3．
（Ⅱ）∵x+y+z=3，且x²+4y²+z²=t，由柯西不等式得：[且x²+（2y）²+z²]•（1+1+1）≥（x+2y+z）²，
（当且仅当

x

1

=

2y

1

=

z

1

，即 x=z=

6

5

，y=

3

5

，时取“=”号）
整理得：9≥（x+2y+z）²，∴：|x+2y+z|≤3．

点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．