Question

如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且AD=2PA，E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：DH⊥平面AEG．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理得AD∥EF，由平行公理得BC∥EF，由此能证明BC∥平面EFG．
（Ⅱ）由线面垂直得PA⊥DH，即AE⊥DH，由三角形全等得DH⊥AG，由此能证明DH⊥平面AEG．

解答： 解：（Ⅰ）因为E，F分别为PA，PD中点，所以AD∥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF，…（2分）
因为BC?平面EFG，EF?平面EFG，…（4分）
所以BC∥平面EFG．…（6分）
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DH，
即AE⊥DH，…（8分）
因为△ADG≌△DCH，
所以∠HDC=∠DAG，
∠AGD+∠DAG=90°，
所以∠AGD+∠HDC=90°，
所以DH⊥AG，
又因为AE∩AG=A，所以DH⊥平面AEG．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．